Question

【題目】如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，點O是BC邊上一點，以點O為圓心、OB為半徑的圓經過點A，與BC交于點D.

⑴ 試說明AC與⊙O相切；

⑵ 若，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OA，先得出∠OAB=30°，再解得∠OAC=90°，從而可判斷出AC與⊙O的位置關系；

（2）連接AD，設OA的長度為x，根據“陰影部分的面積=△OAC的面積-扇形OAD的面積”列出方程即可求解.

⑴ 連接OA.

∵ OA=OB

∴ ∠OAB=∠B

∵ ∠B=30°

∴ ∠OAB=30°

△ABC中：∠B=∠C=30°

∴ ∠BAC=180°－∠B－∠C=120°

∴ ∠OAC=∠BAC－∠OAB=120°－30°=90°

∴ OA⊥AC

∴ AC是⊙O的切線，即AC與⊙O相切.

⑵ 連接AD.

∵ ∠C=30°，∠OAC=90°

∴ OC=2OA

設OA的長度為x，則OC=2x

在△OAC中，∠OAC=90°，

根據勾股定理可得：

解得：，（不合題意，舍去）

∴，

∴

答：圖中陰影部分的面積為.