Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且．

（1）求拋物線的解析式和頂點的坐標；

（2）判斷的形狀，證明你的結論；

（3）點是軸上的一個動點，當的周長最小時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）點坐標為；（2）為直角三角形；（3）

【解析】

（1）把A點坐標代入可求得b的值，可求得拋物線的解析式，再求D點坐標即可；

（2）由解析式可求得A、B、C的坐標，可求得AB、BC、AC的長，由勾股定理的逆定理可判定△ABC為直角三角形；

（3）先求得C點關于x軸的對稱點E，連接DE，與軸交于點M，則M即為所求，可求得DE的解析式，令其y=0，可求得M點的坐標，可求得m．

解：（1）∵點在拋物線上，

∴，解得，

∴ 拋物線解析式為，

∵ ，

∴ 點坐標為；

（2）為直角三角形，證明如下：

在中，令可得，解得或，

∴ 為，且為，

∴ ，，，

由勾股定理可求得，，

又，

∴ ，

∴ 為直角三角形；

（3）∵ ，

∴ 點關于軸的對稱點為，

如圖，連接，交軸于點，則即為滿足條件的點，

設直線解析式為，

把、坐標代入可得，解得，

∴ 直線解析式為，令，可得，

∴ ．