Question

【題目】矩形，，，，（），以為旋轉中心順時針旋轉矩形，得到矩形．

（1）如圖1，當點落在邊上時，求的長；

（2）如圖2，當時，矩形的對角線交矩形的邊于點，連結，若是等腰三角形，求直線的解析式．

（3）如圖3，當時，矩形的對稱中心為點．的面積為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖1，當點D落在邊BC上時，BD2＝AD2AB2，即可求解；

（2）分CG＝EG、CE＝GE、CE＝CG三種情況分別求解；

（3）根據MN≤MA＋AD，當射線DA經過點M時，MN＝MA＋AD＝，的最大值是，當邊AD經過點M，即P與M重合時，MN＝PD，MN＝PD＝ADAP＝4＝，的最小值是，故可求解．

解：(1) 如圖1，在矩形ABCO中，∠B =90°

當點D落在邊BC上時，BD2=AD2-AB2

∵C(0，3)，A(，0)

∴AB=OC=3，AD=AO=

∴

(2) 如圖2， 連結AC，

∵=3

∴OA=OC=3

∴矩形ABCO是正方形

∴∠BCA =45°

設∠ECG的度數為，

∴AE=AC

∴∠AEC =∠ACE=

①當CG=EG時，=

解得，不合題意，舍去

②當CE=GE時，∠ECG =∠EGC=

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=

∴，

解得

∴∠AEC =∠ACE=，不合題意，舍去

③當CE=CG時，∠CEG =∠CGE=

∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=

∴，

解得

∴∠AEC =∠ACE=75°，∠CAE=30°

如圖3，連結OB，交AC于點Q，過E作EH⊥AC于H，連結BE

∴EH=AE=AC，BQ=AC

∴EH=BQ ，EH∥BQ且∠EHQ=90°

∴四邊形EHQB是矩形

∴BE∥AC

設直線BE的解析式為

∵點B（3，3）在直線上

∴6

∴直線BE的解析式為；

(3)如圖4，∵=4，點M是矩形ABCO的對稱中心

∴AO=4，AM=

以A為圓心，分別以AO、AM為半徑作圓，AD交小圓于P，

過M作MN⊥ED于N

∴DE切大圓于D

∴MN≥PD

根據“垂線段最短”，MN≤MA+AD，

如圖5，當射線經過點M時，MN=MA+AD=

∴的最大值是

如圖6，當邊AD經過點M，即P與M重合時，MN=PD，

∴的最小值是

綜上，的取值范圍是．