Question

【題目】將一個(gè)正方形紙片AOBC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)O（0，0），B（4，0），C（4，4）點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)E在邊AO上，點(diǎn)F在邊BC上，沿EF折疊該紙片，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AC上（點(diǎn)M不與A，C重合），點(diǎn)B落在點(diǎn)N處，MN與BC交于點(diǎn)P．

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠AEM＝30°時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M落在AC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（Ⅲ）隨著點(diǎn)M在AC邊上位置的變化，△MPC的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如變化，簡(jiǎn)述理由；如不變，直接寫出其值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）△MPC的周長(zhǎng)不變，為8，理由見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）由折疊的性質(zhì)知OE＝EM，設(shè)OE＝x，則EM＝OE＝x，AE＝x，根據(jù)等量關(guān)系AE＋OE＝OA列出方程并解答；

（Ⅱ）由線段中點(diǎn)的定義知AM＝AC＝2．設(shè)OE＝m，則EM＝OE＝m，AE＝4﹣m，在Rt△AEM中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程并解答；

（Ⅲ）設(shè)AM＝a，則OE＝EM＝b，MC＝4﹣a，在Rt△AEM中，由勾股定理得出a、b的關(guān)系式，可證Rt△AEM∽Rt△CMP，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比求△MPC的周長(zhǎng)．

解：（Ⅰ）如圖①，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EAM＝90°．

由折疊知OE＝EM．

設(shè)OE＝x，則EM＝OE＝x，

在Rt△AEM中，cos∠AEM＝

∵∠AEM＝30°

∴cos30°＝＝

∴AE＝x，

∴AE＋OE＝OA，即x＋x＝4，

∴x＝16﹣8．

∴

（Ⅱ）如圖②，

∵點(diǎn)M是邊AC的中點(diǎn)，

∴AM＝AC＝2．

設(shè)OE＝m，則EM＝OE＝m，AE＝4﹣m，

在Rt△AEM中，EM2＝AM2＋AE2，

即m 2＝22＋（4﹣m）2，解得m＝．

∴；

（Ⅲ）△MPC的周長(zhǎng)不變，為8．

理由：設(shè)AM＝a，OE＝EM＝b，

∵AC＝4

∴MC＝4﹣a，

在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2＋AM2＝EM2，

（4﹣b）2＋a2＝b2，解得16＋a2＝8b．

∴16﹣a2＝8（4﹣b）

∵∠EMP＝90°，∠A＝∠C，

∴Rt△AEM∽R(shí)t△CMP，

∴，即，

解得DM＋MP＋DP＝＝8．

∴△CMP的周長(zhǎng)為8．