Question

【題目】已知，如圖，二次函數圖像交軸于，交交軸于點，是拋物線的頂點，對稱軸經過軸上的點．

（1）求二次函數關系式；

（2）對稱軸與交于點，點為對稱軸上一動點．

①求的最小值及取得最小值時點的坐標；

②在①的條件下，把沿著軸向右平移個單位長度時，設與重疊部分面積記為，求與之間的函數表達式，并求出的最大值．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）；（2）①最小值為，點坐標為；②，當時，最大值．

【解析】

（1）函數對稱軸為x=1，則點B（3，0），用交點式表達式得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；

（2）①連接BD，過點A作AH⊥BD于點H，交DF于點P，AP+PD=AP+PD，此時AP+PD=AH最小，即可求解；

②根據題意，可分為0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤4三種情況，分別求解，即可得到答案．

解：（1）二次函數對稱軸為，點坐標為，

則點坐標為．

又∵點坐標，則

，解得：，

∴函數表達式為；

（2）①連接

∵

∴

在中，依勾股定理得：

∴

過點作于點，交拋物線對稱軸于點

則

則

依“垂線段最短”得此時長度為最小值，

即最小值為的長度，

∵

則，

即最小值為．

點坐標為．

②A．當時，如圖

依圖知：

則：

化簡得：

配方得：

根據自變量取值范圍，當時，最大值4

B．當時，如圖：

四邊形

整理得：

配方得：

即時，最大值

C．當時，如圖：

根據自變量取值范圍，當時，最大值

綜上，，當時，最大值．