Question

【題目】問題探究：

（1）如圖①，已知等邊△ABC，邊長為4，則△ABC的外接圓的半徑長為　 　．

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，對角線BD與邊BC的夾角為30°，點E在為邊BC上且BE＝BC，點P是對角線BD上的一個動點，連接PE，PC，求△PEC周長的最小值．

問題解決：

（3）為了迎接新年的到來，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖③，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城墻的兩交點的連接的線段（BC）看作一個三角形，記為△ABC，那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值，若沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）△ABC的周長最小值為60 ．

【解析】

（1）作△ABC外接圓，作直徑AD，連接BD，根據等邊三角形性質求出∠C＝60°，根據圓周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．

（2）△PEC周長的最小實質是PE+PC，轉化為將軍飲馬模型求出P點，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，

（3）先由定角定高可知BC的最小值為三角形是等腰三角形AB＝AC時，BC最小，而求AB+AC，可以先將A點沿BC方向平移BC，構造平行四邊形將AB轉化為長，則AB+AC最小轉化為AC+CD最小，作A點對稱點A′，連接A′D，與BC交點與C重合，此時BC、AB+AC同時取最小值，即可知三角形周長有沒有最小值．

解：（1）如圖，作三角形外接圓⊙O，作直徑AD，連接BD，

∵等邊△ABC內接于⊙O，AD為直徑，

∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，

∵sin∠D＝，

∴AD＝

∴⊙0的半徑是．

故答案為；

（2）如圖2，作點E關于BD的對稱點E′，連接E′C交BD于P，連接PE，此時△PEC周長周長最小．

連接BE′，過E′作E′H⊥BC，

∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，

∴BC＝4，

又∵BE＝BC．

∴BE＝

∵點E′是關于BD的對稱點E

∴∠EBH＝60°，BE′＝BE＝，

∴BH＝，E′H＝，

∴HC＝，

∴E′C＝

∵△PEC周長＝PC+PE+EC＝PE′+EC＝

（3）如圖3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，

∴當AB＝AC時，邊BC取最小值，

∴此時BC＝AC＝20，

作ABCD，作A點關于直線BC的對稱點A′，連接A′D，AB+AC＝CD+A′C，

當A′，C，D在一條直線上時，AB+AC最小，

此時，△ABC應為等邊三角形，AB+AC＝

∵AB+AC和BC的最小值能夠同時取到，

故△ABC的周長最小值為．