Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點D，過點A作⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P，連接PC、BC．

【1】猜想：線段OD與BC有何數量和位置關系，并證明你的結論．

【2】求證：PC是⊙O的切線

Answer 1

【答案】

【1】見解析

【2】見解析

【解析】(1)由已知得出OD是△ABC的中位線，從而得出結論

(2) 連接OC，證得△OAP≌△OCP，得出∠OCP＝∠OAP，從而得出結論

(1)猜想：OD∥BC，CD＝BC．

證明：∵OD⊥AC，

∴AD＝DC

∵AB是⊙O的直徑，

∴OA＝OB

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，OD＝BC

(2)證明：連接OC，設OP與⊙O交于點E．

∵OD⊥AC，OD經過圓心O，

∴，即∠AOE＝∠COE

在△OAP和△OCP中，

∵OA＝OC，OP＝OP，

∴△OAP≌△OCP，

∴∠OCP＝∠OAP

∵PA是⊙O的切線，

∴∠OAP＝90°．

∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切線．