Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠CAB的平分線AD交于點D，過點D作DE∥BC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）過點D作DF⊥AB于點F，連接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由等腰三角形的性質及角平分線的性質得出∠ADO＝∠DAE，從而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由兩直線平行，同旁內角互補得出∠ODE＝90°，由切線的判定定理得出答案；

（2）先由直徑所對的圓周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，進而得出AF和BA的值，然后證明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性質得比例式，從而求得BD2的值，求算術平方根即可得出BD的值．

解：（1）連接OD，如圖：

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAE＝∠OAD，

∴∠ADO＝∠DAE，

∴OD∥AE，

為⊙的直徑，

∵DE∥BC，

∴∠E＝ 90°，

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵OF＝1，BF＝2，

∴OB＝3，

∴AF＝4，BA＝6．

∵DF⊥AB，

∴∠DFB＝90°，

∴∠ADB＝∠DFB，

又∵∠DBF＝∠ABD，

∴△DBF∽△ABD，

∴，

∴BD2＝BFBA＝2×6＝12．

∴BD＝