Question

【題目】正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．

（1）如圖①，若點E在上，F是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；

（2）在（1）的條件下，小明還發現線段DE、BE、AE之間滿足等量關系：DE﹣BE=AE．請你說明理由；

（3）如圖②，若點E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關系．（不必證明）

第26題

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）理由見解析；（3）BE-DE=AE．

【解析】

（1）中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明∠ADF=∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；

（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需證明DE-BE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題；

（3）類比（2）不難得出（3）的結論．

（1）如圖：

在正方形ABCD中，AB=AD，

∵∠1和∠2都對，

∴∠1=∠2，

在△ADF和△ABE中，

，

∴△ADF≌△ABE（SAS）；

（2）由（1）有△ADF≌△ABE，

∴AF=AE，∠3=∠4，

在正方形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠3=90°，

∴∠BAF+∠4=90°，

∴∠EAF=90°，

∴△EAF是等腰直角三角形，

∴EF2=AE2+AF2，

∴EF2=2AE2，

∴EF=AE，

即DE-DF=AE，

∴DE-BE=AE；

（3）BE-DE=AE．理由如下：

在BE上取點F，使BF=DE，連接AF，

易證△ADE≌△ABF，

∴AF=AE，∠DAE=∠BAF，

在正方形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠DAF=90°，

∴∠DAE+∠DAF=90°，

∴∠EAF=90°，

∴△EAF是等腰直角三角形，

∴EF2=AE2+AF2，

∴EF2=2AE2，

∴EF=AE，

即BE-BF=AE，

∴BE-DE=AE．