Question

【題目】在□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）若四邊形EHFG是矩形，則□ABCD應滿足的條件是 （不需要證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB=2AD.

【解析】試題分析：（1）通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；（2）當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，先證明四邊形ADFE是正方形，得出有一個內角等于90°，從而證明菱形EHFG為一個矩形．

試題解析：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

又∵E、F分別是AB、CD的中點，

∴AE=AB，CF=CD，

∴AE=CF，

又∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴ GF∥CH，

同理EG∥HF，

∴四邊形EHGF是平行四邊形.

（2）當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，平行四邊形EHFG是矩形。

∵E，F分別為AB，CD的中點，且AB=CD，

∴AE=DF,且AE∥DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∴AD=EF，

又∵AB=2AD，E為AB中點，則AB=2AE，

于是有AE=AD=AB，

這時,EF=AE=AD=DF=AB,∠EAD=∠FDA=90°，

∴四邊形ADFE是正方形，

∴EG=FG=AF,AF⊥DE,∠EGF=90°，

∴此時，平行四邊形EHFG是矩形。