Question

【題目】如圖，在中，是直徑，是切線，點為切點．

（1）求證：；

（2）如圖，連接交于點，連接并延長，交于點，求證：；

（3）如圖，延長交于點連接過點作，交的延長線于點．若 求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）利用全等的性質證得∠BOD=90，再證得Rt△BOERt△ODE，再利用等量代換即可證明結論；

（2）證得，利用平行線分線段成比例定理結合等量代換即可證明結論；

（3）在中，利用勾股定理求得PC的長，求得 ，推出和，求得，再推出，在和中，利用余弦函數即可求解．

（1）證明：如圖，連接OB、OE、OD．

∵AB、BD、CD是的切線，

∴BA=BE，∠BEO=∠BAO=90，DC=DE，

在Rt△BEO和Rt△BAO中，

，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴Rt△BOERt△ODE，

∴，

∴，

∵

∴；

（2）證明：∵AB、CD是的切線，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∵，

∴，

∴；

（3）解：∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

在中， ，

∴①，

∵，

∴②，

聯立①②并解得：

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．