Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的邊長為2，將正方形BDEF繞點B旋轉一周，連接AE、BE、CD．

(1)請找出圖中與△ABE相似的三角形，并說明理由；

(2)求當點E在線段AF上時CD的長；

(3)設AE的中點為M，連接FM，試求FM長的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2)； (3)．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和相似三角形的判定可以判斷△ABE∽△CBD．

（2）根據相似三角形的性質得到AB=BC=，根據勾股定理得AF===，如圖1，E在線段AF上，AE=AF－EF=，從而求出CD的長．

（3）如圖2，延長EF到G，使FG=EF，連接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG=BF=，設M為AE的中點，連接MF，根據三角形中位線定理得到AG=2FM，根據三角形的三邊關系即可得出結論．

解：（1）△ABE∽△CBD，

∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠EBD＝45°，

∴∠ABE＝∠CBD，

∵＝，＝，

∴ ，

∴△ABE∽△CBD；

（2）∵△ABE∽△CBD，

∴＝＝ ，

∴CD＝AE，

∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，

∴AB＝BC＝ ，

∵當點E在線段AF上時CD的長，

∵∠AFB＝90°，

∴AF===，

如圖1，AE＝AF﹣EF＝﹣2，

∴CD＝﹣；

所以CD的長為﹣．

（3）如圖2，延長EF到G使FG＝EF，連接AG，BG，則△BFG是等腰直角三角形，

∴BG＝BF＝，

設M為AE的中點，

連接MF，

∴MF是△AGE的中位線，

∴AG＝2FM，

在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，

∴≤AG≤，

∴≤FM≤．