Question

【題目】如圖，是的直徑，點是上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點．弦平分，交直徑于點，連接．

（1）求證：平分；

（2）探究線段，之間的大小關系，并加以證明；

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質可得OC⊥CD，則AD∥OC，根據等邊對等角，以及平行線的性質即可證得；

（2）根據圓周角定理以及三角形的外角的性質定理證明∠PFC=∠PCF，根據等角對等邊即可證得；

（3）證明△PCB∽△PAC，根據相似三角形的性質求得PB與PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．

解：（1）連接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC∥AD．

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）PC=PF．

證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．

∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）連接AE．

∵∠ACE=∠BCE，

∴，

∴AE=BE．

又∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°．

AB= BE＝10，

∴OB=OC=5．

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC．

∴．

∵tan∠PCB=tan∠CAB=．

∴．

設PB=3x，則PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，

解得x1=0，x2＝．

∵x＞0，∴x＝，

∴PF=PC=．