Question

【題目】如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．

（1）①點B的坐標是　　 ；

②當點Q與點A重合時，點P的坐標為　　 ；

（2）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式及相應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（6，），②（3，）；（2）

【解析】

（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標；②由正切函數，即可求得∠CAO的度數，③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；

（2）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案．

解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，

∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），

∴點B的坐標為：（6，2）；

②如圖1：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），

∴PE=3，

∴AE=，

∴OE=OA-AE=6-3=3，

∴點P的坐標為（3，3）；

故答案為：①（6，2），②（3，3）；

（2）①當0≤x≤3時，

如圖，OI=x，IQ=PItan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由題意可知直線l∥BC∥OA，

∴，

∴EF=

此時重疊部分是梯形，其面積為：

S梯形=（EF+OQ）OC=（3+x）

∴．

當3＜x≤5時，如圖

AQ=OIIOOA=x36=x3

AH=(x3)

S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AHAQ=（3+x）﹣

∴．

③當5＜x≤9時，如圖

∵CE∥DP

∴

∴

∴

S=（BE+OA）OC=（12﹣）

∴．

④當x＞9時，如圖

∵AH∥PI

∴

∴

∴

S=OAAH=．

綜上：．