Question

【題目】AE為⊙O的直徑，D為的中點，過E點的切線交AD的延長線于F．

（1）求證：∠AEB＝2∠F；

（2）若AD＝2，DF＝4，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接ED,根據直徑所對的圓周角為直角得:∠ADE=90°,∠A+∠AED=90°,由切線的性質得:∠AEF=90°,∠A+∠F=90°,所以∠AED=∠F,根據弧的中點和同弧所對的圓周角相等得:∠AED=∠BED,從而得出結論;

（2）如圖2,作輔助線,構建直角三角形,先根據相似求直徑AE =,則半徑為,在直角△AOG和直角△ADG中利用勾股定理列方程可求得結論．

證明：（1）如圖1,

連接ED,

∵D為的中點,

∴＝,

∴∠AED＝∠BED,

∵AE為⊙O的直徑,

∴∠ADE＝90°,

∴∠A+∠AED＝90°,

∵EF為⊙O的切線,

∴AE⊥EF,

∴∠AEF＝90°,

∴∠A+∠F＝90°,

∴∠AED＝∠F,

∵∠AEB＝∠AED+∠BED＝2∠AED,

∴∠AEB＝2∠F；

（2）如圖2,

∵∠A＝∠A,∠ADE＝∠AEF＝90°,

∴△ADE∽△AEF,

∴ ,

∵AD＝2,DF＝4,

∴ ,

∴AE＝±,

∴AE＝,

∴AO＝,

連接AB、OD,AB、OD交于點G,

∵D為的中點,

∴OD⊥AB,

∴AG＝BG,

∵AO＝OE,

∴OG＝BE,

設OG＝x,則GD＝﹣x,

由勾股定理得：AO2﹣OG2＝AD2﹣GD2,

則,

解得：x＝,

∴OG＝,

∴BE＝2OG＝．