Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過點A作AD平分∠BAC，交⊙O于點D，過點D作DE∥BC交AC的延長線于點E．

（1）依據題意，補全圖形（尺規作圖，保留痕跡）；

（2）判斷并證明：直線DE與⊙O的位置關系；

（3）若AB=10，BC=8，求CE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 直線DE是⊙O的切線,證明見解析;（3）2.3或4.2

【解析】

（1）依據題意，利用尺規作圖技巧補全圖形即可；

（2）由題意連結OD，交BC于F，判斷并證明OD⊥DE于D以此證明直線DE與⊙O的位置關系；

（3）由題意根據相關條件證明平行四邊形CFDE是矩形，從而進行分析求解.

（1）如圖．

（2）判斷：直線DE是⊙O的切線．

證明：連結OD，交BC于F．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD．

∴．

∴OD⊥BC于F．

∵DE∥BC，

∴OD⊥DE于D．

∴直線DE是⊙O的切線．

（3）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∵AB=10，BC=8，

∴AC=6．

∵∠BOF=∠ACB=90°，

∴OD∥AC．

∵O是AB中點，

∴OF==3．

∵OD==5，

∴DF=2．

∵DE∥BC，OD∥AC，

∴四邊形CFDE是平行四邊形．

∵∠ODE=90°，

∴平行四邊形CFDE是矩形．

∴CE=DF=2．