Question

【題目】如圖，在中，，，以為直徑的交于點，點是邊上一點（點不與點，重合），的延長線交于點，，且交于點．

（1）求證：．

（2）連接，，求證：．

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接BD，由三角形ABC為等腰直角三角形，求出∠A與∠C的度數，根據AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到∠ADB為直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD＝DC＝BD＝AC，進而確定出∠A＝∠FBD，再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）連接EF，BG，由三角形AED與三角形BFD全等，得到ED＝FD，進而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；

（3）由全等三角形對應邊相等得到AE＝BF＝2，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用銳角三角形函數定義求出DE的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的長，由GE＋ED求出GD的長即可．

（1）證明：連接．

如圖，在中，，，

∴．

∵是的直徑，

∴，即，

∴，

∴．

∵，，

∴，

又∵，

∴，

在和中，

∴，

∴．

（2）證明：如圖，由（1）知，

∴．

∵．

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵．

∴，

∴．

（3）解：∵，，

∴．

在中，，

∴根據勾股定理得，

∵，，

∴．

∵為等腰直角三角形，，

∴，

∵，∴．

∵，，

∴，

∴，即，

∴，即，

則．