Question

【題目】已知：如圖在菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=30°，點E是AD的中點，點M是的一個動點（不與點A重合），連接ME并廷長交CD的延長線于點N連接MD，AN．

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）當AM為何值時，四邊形AMDN是矩形并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），四邊形AMDN是矩形，見解析.

【解析】

（1）根據菱形的性質可得ND∥AM，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據中點的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據全等三角形對應邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；

（2）根據矩形的性質得到DM⊥AB，結合∠DAB=30°，由直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM．

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．

∵點E是AD中點，

∴DE=AE．

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（AAS）．

∴ND=MA．

∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）解：當AM=2時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=2，

∵平行四邊形AMDN是矩形，

∴∠AMD=90°．

∵∠DAB=30°，

∴MD=AD=AB=2．

在直角△AMD中，．