Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，經過點A作AE⊥OC，垂足為點D，AE與BC交于點F，與過點B的直線交于點E，且EB=EF．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若CD=1，cos∠AEB= ，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵B、C在⊙O上，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵EF=EB，

∴∠EBC=∠EFB，

又∵∠AFC=∠EFB，

∴∠AFC=∠EBC，

∵AE⊥OC，

∴∠AFC+∠OCB=90°，

∴∠EBC+∠OBC=90°，即BE⊥OB，

又OB是⊙O的半徑，

∴EB是⊙O的切線

（2）解：設⊙O的半徑為r，則OA=OC=r，

又CD=1，

∴OD=r﹣1，

∵∠AOD+∠EAB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，

∴∠AOD=∠AEB，

∴cos∠AOD=cos∠AEB= ，

∴在Rt△AOD中，cos∠AOD= = ，即 = ，

解得：r= ，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AB=5，

在Rt△AEB中，cos∠AEB= = ，

∴AE= BE，

又AE2=AB2+BE2，即（ BE）2=BE2+52，

解得：BE=

【解析】（1）由∠OBC=∠OCB、∠EBC=∠EFB=∠AFC，根據∠AFC+∠OCB=90°可得∠EBC+∠OBC=90°，即可得證；（2）設⊙O的半徑為r，在Rt△AOD中根據cos∠AOD=cos∠AEB= 可得r= ，由cos∠AEB= = 知AE= BE，Rt△ABE中，根據勾股定理有（ BE）2=BE2+52 ， 解之可得．
【考點精析】掌握垂徑定理和三角形的外接圓與外心是解答本題的根本，需要知道垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心．