Question

【題目】在平面直角坐標系中，規定：拋物線的伴隨直線為.例如：拋物線的伴隨直線為，即．

（1）在上面規定下，拋物線的頂點為　　　　．伴隨直線為　　　　；拋物線與其伴隨直線的交點坐標為　　　　和　　　　；

（2）如圖，頂點在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(點在點的右側)與軸交于點

①若求的值；

②如果點是直線上方拋物線的一個動點，的面積記為，當取得最大值時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）(﹣1，﹣4)，y=x﹣3，(0，﹣3)，(﹣1，﹣4)；（2）①m的值為；②m=－2．

【解析】

（1）根據題干中的定義即可找出其伴隨直線為y=(x+1)﹣4，即y=x﹣3，再聯立拋物線求解即可

（2）①先與其伴隨直線聯立求得交點，再求出拋物線與x軸的交點C，D，根據∠CAB=90°由勾股定理求出m；

②設直線BC的解析式為y=kx＋b．將B(2，－3m)，C(－1，0)代入求出y=－mx－m．過P作x軸的垂線交BC于點Q，將三角形面積用含m的表達式表示出來即可

（1）由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=(x+1)﹣4，即y=x﹣3，

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴其交點坐標為(0，﹣3)和(﹣1，﹣4)．

故答案為：(﹣1，﹣4)；y=x﹣3；(0，﹣3)；(﹣1，﹣4)；

（2）①∵拋物線解析式為y=m(x－1)2－4m，∴其伴隨直線為y=m(x－1)－4m，即y=mx－5m．

聯立拋物線與伴隨直線的解析式可得解得或，∴A(1，－4m)，B(2，－3m)．

在y=m(x－1)2－4m中，

令y=0可得x=－1或x=3，∴C(－1，0)，D(3，0)，∴AC2=4＋16m2，AB2=1＋m2，BC2=9＋9m2．

∵∠CAB=90°，∴AC2＋AB2=BC2，即4＋16m2＋1＋m2=9＋9m2，解得：m= (拋物線開口向下，舍去)或m=－，∴當∠CAB=90°時，m的值為－．

②設直線BC的解析式為y=kx＋b．

∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴，解得，∴直線BC的解析式為y=－mx－m．

過P作x軸的垂線交BC于點Q．

∵點P的橫坐標為x，∴P(x，m(x－1)2－4m)，Q(x，－mx－m)．

∵P是直線BC上方拋物線上的一個動點，∴PQ=m(x－1)2－4m＋mx＋m=m(x2－x－2)=m[(x－)2－]，∴S△PBC=×[2－(－1)]PQ=m(x－)2－m，∴當x=時，△PBC的面積有最大值－m，∴S取最大時，即－m=，解得：m=－2．