Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：分別與x軸、y軸交于點B、C，且與直線l2：交于點A．

（1）求出點A的坐標

（2）若D是線段OA上的點，且△COD的面積為12，求直線CD的解析式

（3）在（2）的條件下，設P是射線CD上的點，在平面內是否存在點Q，使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，3）；（2）y=﹣x+6；（3）存在滿足條件的點的P，其坐標為（6，0）或（3，﹣3）或（，+6）．

【解析】（1）把x=0，y=0分別代入直線L1，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐標，解由直線BC和直線OA的方程組即可求出A的坐標；（2）設D（x，x），代入面積公式即可求出x，即得到D的坐標，設直線CD的函數表達式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直線CD的函數表達式；（3）存在點Q，使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，根據菱形的性質能寫出Q的坐標．

（1）解方程組，得， ∴A（6，3）；

（2）設D（x， x），

∵△COD的面積為12，∴×6×x=12，

解得：x=4，∴D（4，2），

設直線CD的函數表達式是y=kx+b，

把C（0，6），D（4，2）代入得：，解得：，

∴直線CD解析式為y=﹣x+6；

（3）在直線l1：y=﹣x+6中，當y=0時，x=12，

∴C（0，6）

存在點P，使以O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，

如圖所示，分三種情況考慮：

（i）當四邊形OP1Q1C為菱形時，由∠COP1=90°，得到四邊形OP1Q1C為正方形，此時OP1=OC=6，即P1（6，0）；

（ii）當四邊形OP2CQ2為菱形時，由C坐標為（0，6），得到P2縱坐標為3，

把y=3代入直線直線CQ的解析式y=﹣x+6中，可得3=﹣x+6，解得x=3，此時P2（3，﹣3）；

（iii）當四邊形OQ3P3C為菱形時，則有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，設P3（x，﹣x+6），

∴x2+（﹣x+6﹣6）2=62，解得x=3或x=﹣3（舍去），此時P3（3，﹣3+6）；

綜上可知存在滿足條件的點的P，其坐標為（6，0）或（3，﹣3）或（，+6）．