Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”，設BC=a，AC﹣b，AB=c．

【特例探索】

（1）如圖1，當∠ABE=45°，c=2時，a=　 　，b=　 　；如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，a=　 　，b=　 　；

【歸納證明】

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2，b2，c2三者之間的關系，用等式表示出來，請利用圖3證明你發現的關系式；

【拓展應用】

（3）如圖4，在ABCD中，點E，F，G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD=2，AB=3．求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）a=2 ，b=2； a=2 ,b=2；（2）見解析；（3）4．

【解析】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質得到根據三角形中位線的性質，得到, 再由勾股定理得到結果；
（2）連接EF，設PF=m，PE=n則AP=2m，PB=2n，類比著（1）即可證得結論．
（3）連接AC,EF交于H,AC與BE交于點Q,設BE與AF的交點為P,由點E.G分別是AD，CD的中點，得到EG是△ACD的中位線，于是證出 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到, ∠EAH=∠FCH根據E，F分別是AD，BC的中點，得到證出四邊形ABFE是平行四邊形，證得EH=FH，推出EP，AH分別是△AFE的中線，由（2）的結論得即可得到結果．

試題解析

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴,

∴PE=PF=1，

在Rt△FPB和Rt△PEA中，

如圖2，連接EF，

同理可得：

∵

∴△PEF△ABP，

在Rt△ABP中，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

故答案為：

(2)猜想： 三者之間的關系是：

證明：如圖3，連接EF，∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF是△ABC的中位線，

∴.且

設PF=m，PE=n則AP=2m，PB=2n，

在Rt△APB中, ①

在Rt△APE中, ②

在Rt△BPF中, ③

由①得： 由②+③得：

(3)如圖4,連接AC,EF交于H,AC與BE交于點Q,設BE與AF的交點為P,

∵點E.G分別是AD，CD的中點，

∴,

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴,

∴∠EAH=∠FCH，

∵E，F分別是AD，BC的中點，

∵,

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF=AB=3，AP=PF，

在△AEH和△CFH中,

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH，

∴EP，AH分別是△AFE的中線，

由(2)的結論得：

∴AF=4.