Question

【題目】如圖，已知y=﹣x+m（m＞4）過動點A（m，0），并與反比例函數y= 的圖象交于B、C兩點（點B在點C的左邊），以OA為直徑作反比例函數y= 的圖象相交的半圓，圓心為P，過點B作x軸的垂線，垂足為E，并于半圓P交于點D．
（1）當m=5時，求B、C兩點的坐標．
（2）求證：無論m取何值，線段DE的長始終為定值．
（3）記點C關于直線DE的對稱點為C′，當四邊形CDC′E為菱形時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把m=5代入y=﹣x+m中得：y=﹣x+5，

則 解得： ， ，

∴B（1，4），C（4，1）；

（2）解：如圖1，連接OD、AD，

∵A（m，0），

∴OA=m，

y=﹣x+m中，當x=0時，y=m，則F（0，m），

∴OF=m，

∴△AOF是等腰直角三角形，

∴∠OAB=45°，

∵BE⊥OA，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴BE=AE，

∵OA是⊙P的直徑，

∴∠ODA=90°，

∵∠ODE=∠OAD，

∵∠OED=∠DEA=90°，

∴△ODE∽△DAE，

∴ ，

∴DE2=OEAE=OEBE，

∵B是反比例函數上的點，即OEBE=4

∴無論m取何值，線段DE的長始終為定值；

（3）解：如圖3，連接CC′，設DE與CC′交于G，

由（2）得：DE2=4，

∴DE=2，

∵四邊形CDC′E為菱形，

∴DG=EG=1，

∴C的縱坐標為1，

當y=1時， =1，x=4，

∴C（4，1），

把C（4，1）代入y=﹣x+m中得：﹣4+m=1，

m=5．

【解析】（1）把M=5代入一次函數解析式中，與反比例函數列方程組解出即可；（2）作輔助線，如圖1，證明△ODE∽△DAE，列比例式得： ，則DE2=OEAE=OEBE=4，所以線段DE的長始終為定值；（3）根據菱形的性質求出C的坐標，代入一次函數的解析式中可得m的值．