Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點D在邊BC上，且BD=4，以點D為頂點作∠EDF=∠B，分別交邊AB于點E，交AC或延長線于點F．
（1）當AE=4時，求AF的長；
（2）當以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，

∴∠FDC=∠DEB，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴△CDF∽△BED，

∴ ，即 ，

解得：CF= ，

∴AF=AC﹣CF=10﹣

（2）解：取邊AC中點O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，過點A作AH⊥BC于H，連接OD，如圖所示：

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴CH= BC=6，

∵⊙O和線段DE相切，

∴OG= AC=5，

在Rt△CAH中，∠AHC=90°，cosC= ，

在Rt△CQO中，∠CQO=90°

∵cosC= ，

∴CQ=COcosC=5× =3，

∴DQ=BC﹣BD﹣CQ=12﹣4﹣3=5，

∴OG=DQ，

在Rt△OGD與Rt△DQO中， ，

∴Rt△OGD≌Rt△DQO（HL），

∴∠GOD=∠QDO，

∴OG∥BC，

∴∠EDB=∠OGD=90°，

∴cosB= =cosC= ，

∴BE= ，

∴當以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時，BE= ．

【解析】（1）先證△BDE∽△CFD，得出對應邊成比例，求出CF的長，即可得出結(jié)果；（2）取邊AC中點O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，過點A作AH⊥BC于H，連接OD，則CH= BC=6，由⊙O和線段DE相切，得出OG= AC=5，求出cosC= = ，CQ=COcosC=3，DQ=BC﹣BD﹣CQ=5，得出OG=DQ，由HL證得Rt△OGD≌Rt△DQO，得出∠GOD=∠QDO，OG∥BC，∠EDB=∠OGD=90°，由cosB= =cosC= ，即可得出結(jié)果．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．