Question

【題目】如圖，正方形ABCD是一次函數y＝x+1圖象的其中一個伴侶正方形．

（1）若某函數是一次函數y＝x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

（2）若某函數是反比例函數，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數解析式；

（3）若某函數是二次函數y＝ax2+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數是奇數還是偶數？．（本小題只需直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）正方形邊長為；（2）m＝1，y＝；（3）D坐標為（﹣1，3）；y＝x2+ ；所求的任何拋物線的伴侶正方形個數為偶數．

【解析】

此題較為新穎，特別要注意審題和分析題意，耐心把題讀完，知A、B為坐標軸上兩點，C、D為函數圖象上的兩點：（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長，注意思維的嚴密性．
（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標表示出點C的坐標從而求解．
（3）注意思維的嚴密性，拋物線開口既可能向上，也可能向下．當拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點（3，4）的左邊，也可能在點（3，4）的右邊，過點（3，4）向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標；當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論．

（1）∵正方形ABCD是一次函數y＝x+1圖象的其中一個伴侶正方形．

當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時，

∴AO＝1，BO＝1，

∴正方形ABCD的邊長為

當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，設正方形ABCD的邊長為a，得3a＝

∴a= ,所以正方形邊長為 ；

（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，

知△ADE≌△BAO≌△CBF，此時，m＜2，DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m

∴OF＝BF+OB＝2

∴C點坐標為（2﹣m，2）

∴2m＝2（2﹣m）

解得m＝1，

∴反比例函數的解析式為y＝ ；

（3）根據題意畫出圖形，如圖所示：

過C作CF⊥x軸，垂足為F，過D作DE⊥CF，垂足為E，

∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，

∵C（3，4），即CF＝4，OF＝3，

∴EG＝3，DE＝4，故DG＝DE﹣GE＝DE﹣OF＝4﹣3＝1，則D坐標為（﹣1，3）；設過D與C的拋物線的解析式為：y＝ax2+b，

把D和C的坐標代入得： ，

解得 ，

∴滿足題意的拋物線的解析式為y＝x2+；

同理可得D的坐標可以為：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），對應的拋物線分別為y=x2+；y=x2+；y=x2+，所求的任何拋物線的伴侶正方形個數為偶數．