Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A（0，2），對稱軸為直線x=﹣2，平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點，點B在對稱軸左側，BC=6．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）點P在x軸上，直線CP將△ABC面積分成2：3兩部分，請直接寫出P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2+4x+2；（2）P的坐標為（﹣6，0）或（﹣13，0）．

【解析】（1）由對稱軸直線x=2，以及A點坐標確定出b與c的值，即可求出拋物線解析式；

（2）由拋物線的對稱軸及BC的長，確定出B與C的橫坐標，代入拋物線解析式求出縱坐標，確定出B與C坐標，利用待定系數法求出直線AB解析式，作出直線CP，與AB交于點Q，過Q作QH⊥y軸，與y軸交于點H，BC與y軸交于點M，由已知面積之比求出QH的長，確定出Q橫坐標，代入直線AB解析式求出縱坐標，確定出Q坐標，再利用待定系數法求出直線CQ解析式，即可確定出P的坐標．

（1）由題意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，

解得：b=4，c=2，

則此拋物線的解析式為y=x2+4x+2；

（2）∵拋物線對稱軸為直線x=﹣2，BC=6，

∴B橫坐標為﹣5，C橫坐標為1，

把x=1代入拋物線解析式得：y=7，

∴B（﹣5，7），C（1，7），

設直線AB解析式為y=kx+2，

把B坐標代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，

作出直線CP，與AB交于點Q，過Q作QH⊥y軸，與y軸交于點H，BC與y軸交于點M，

可得△AQH∽△ABM，

∴，

∵點P在x軸上，直線CP將△ABC面積分成2：3兩部分，

∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，

∵BM=5，

∴QH=2或QH=3，

當QH=2時，把x=﹣2代入直線AB解析式得：y=4，

此時Q（﹣2，4），直線CQ解析式為y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；

當QH=3時，把x=﹣3代入直線AB解析式得：y=5，

此時Q（﹣3，5），直線CQ解析式為y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此時P（﹣13，0），

綜上，P的坐標為（﹣6，0）或（﹣13，0）．