Question

【題目】△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一邊GH在BC上，頂點E、F分別在AB、AC上，AD與EF交于點M．

（1）求證：；

（2）設EF＝x，EH＝y，寫出y與x之間的函數表達式；

（3）設矩形EFGH的面積為S，求S與x之間的函數表達式，并寫出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝8﹣x（0＜x＜12）；（3）S矩形EFGH＝﹣（x﹣6）2+24，Smax＝24．

【解析】

（1）先判斷出AM是△AEF的高，再判斷出△AEF∽△ABC，即可得出結論；（2）先判斷出四邊形EMDG是矩形，得出DM＝EH，進而表示出AM＝8﹣y，借助（1）的結論即可得出結論；（3）由矩形的面積公式得出函數關系式，即可得出結論．

解：（1）∵四邊形EFGH是矩形，

∴EF∥BC，

∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC，

∴AM⊥EF，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴（相似三角形的對應邊上高的比等于相似比）；

（2）∵四邊形EFGH是矩形，

∴∠FEH＝∠EHG＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠HDM＝90°＝∠FEH＝∠EHG，

∴四邊形EMDH是矩形，

∴DM＝EH，

∵EF＝x，EH＝y，AD＝8，

∴AM＝AD﹣DM＝AD﹣EH＝8﹣y，

由（1）知，，

∴ ，

∴y＝8﹣x（0＜x＜12）；

（3）由（2）知，y＝8﹣x，

∴S＝S矩形EFGH＝xy＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣6）2+24，

∵a＝﹣＜0，

∴當x＝6時，Smax＝24．