Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，點C在線段OA上，將沿直線BC翻折，點A與y軸上的點D（0,4）恰好重合.

（1）求直線AB的表達式.

（2）已知點E（0,3），點P是直線BC上的一個動點（點P不與點B重合），連接PD，PE，當PDE的周長取得最小值時，求點P的坐標。

（3）在坐標軸上是否存在一點H，使得HAB和ABC的面積相等？若存在，求出滿足條件的點H的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） ；（2）P（）；（3）存在這樣的H點使之成立；，，

【解析】

（1）根據翻折求出點A的坐標,代入即可求得;

（2）求出直線AE和直線BC的解析式,聯立可求出點P的坐標;

（3）分兩種情況,當點H在x軸上和在y軸上分析.

(1) 對于直線,

當x=0時,y=-6,

又∵D（0,4）,

∴BD=10,

由翻折知AB=BD=10,

根據勾股定理得OA===8,

∴A(8,0),

把A(8,0)代入得k=,

∴y=

(2)過點D作BC的對稱點A(8,0),

∵E(0,3) ,

∴直線AE的解析式為y=-x+3,

∵A,D關于BC對稱,

∴OP=OP,PDE的周長=DE+DP+EP,

設OC=x,則CD=CA=8-x,

在Rt△DOC中,x+4=(8-x),解得x=3,

∴C(3,0)

∵C(3,0),B(0,-6),

∴直線BC的解析式為y=2x-6,

聯立,解得,

∴P（）；

(3) 存在這樣的H點使之成立,

∵=×AC×BO=×5×6=15,

∴當點H在x軸上時,得;

當點H在y軸上時,設H(0,a),

∵=∣a+6∣·8=15,即a=-或-,

∴綜上,，，.