Question

【題目】已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜邊OB＝4，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°，連接BC

（1）如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求△AOC的面積和線段OP的長；

（2）如圖2，點M是線段OC的中點，點N是線段OB上的動點（不與點O重合），求△CMN周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）S△AOC＝，OP＝；（2）2+2．

【解析】

（1）先根據勾股定理求出各邊長AO、AB和角的度數，再根據旋轉60°，可以知道Rt△ODC是旋轉后得到的圖形，其對應邊和對應角都相等．從而求出BD、OC，并求出∠ABC＝90°，可求出△AOC的面積，利用三角形的面積公式計算OP即可；

（2）如圖2，連接BM，AM，AC，根據等邊三角形的性質得到BM⊥OC，根據全等三角形的性質得到BM＝AB，AO＝OM，得到AM被BD垂直平分，即M關于直線BO的對稱點為A，連接AC，則C△CMN＝AC+MC，于是得到結論．

解：（1）∵∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜邊OB＝4，

∴∠AOB＝60°，AO＝2，AB＝，

∵Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°，得到Rt△ODC，

∴OC＝4，OD＝2，∠ODC＝90°，∠DOC＝60°，CD＝，

∴BD＝4﹣OD＝4﹣2＝2，

∴在Rt△BDC中，BC＝＝OC，

∴∠OBC＝∠COB＝60°，

∴∠ABC＝60°+30°＝90°，△OBC為等邊三角形，

∴S△AOC＝，

∴AC＝＝2，

∴OP＝；

（2）如圖2，連接BM，AM，

∵M為OC中點，△OBC為等邊三角形，

∴BM⊥OC，

在Rt△AOB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，

∴∠BOA＝60°，

∵∠BOC＝60°，

∴∠BOA＝∠BOM，

∵∠BAO＝∠BMO＝90°，BO＝BO，

∴△BAO≌△BMO（ASA），

∴BM＝AB，AO＝OM，

∴B，O在AM的中垂線上，

∴AM被BD垂直平分，

即M關于直線BO的對稱點為A，

連接AC，當N為AC與BO的交點時，MN+NC最短為AC,此時C△CMN＝AC+MC，

∵M是OC的中點，

∴MC＝OC＝2，

∴C△CMN的最小值為2+2．