Question

【題目】如圖1,點和矩形的邊都在直線上,以點為圓心,以24為半徑作半圓,分別交直線于兩點.已知: ,,矩形自右向左在直線上平移,當點到達點時,矩形停止運動.在平移過程中,設矩形對角線與半圓的交點為 (點為半圓上遠離點的交點).

（1）如圖2，若與半圓相切，求的值；

（2）如圖3，當與半圓有兩個交點時，求線段的取值范圍；

（3）若線段的長為20，直接寫出此時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）如圖2，連接OP，則DF與半圓相切，利用△OPD≌△FCD（AAS），可得：OD=DF=30；

（2）利用，求出，則；DF與半圓相切，由（1）知：PD=CD=18，即可求解；

（3）設PG=GH=m，則：，求出，利用，即可求解.

（1）如圖，連接

∵與半圓相切，∴，∴，

在矩形中，，

∵，根據勾股定理，得

在和中，

∴

∴

（2）如圖，

當點與點重合時，

過點作與點，則

∵

且，由（1）知：

∴，∴，

∴

當與半圓相切時，由（1）知：，

∴

（3）設半圓與矩形對角線交于點P、H，過點O作OG⊥DF，

則PG=GH，

，則，

設：PG=GH=m，則：，

，

整理得：25m2-640m+1216=0，

解得：，

.