Question

【題目】如圖，二次函數的圖象交軸于、兩點，交軸于點，點為該二次函數圖象頂點．連接、及、．

（1）如圖1，若點的坐標，頂點坐標．

①求的值，并說明；

②如圖2，點是拋物線的對稱軸上一點，以點為圓心的圓經過、兩點，且與直線相切，求點的坐標；

（2）若，點，點，如圖3，動點在直線上方的二次函數圖象上．過點作于點，是否存在點，使得中的某個角恰好等于的2倍？若存在，求出點的橫坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，見解析；②點P的坐標為（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；（2）G的橫坐標或

【解析】

（1）①設，將點B坐標代入，求出a值，得到拋物線表達式，令y=0，求出點A坐標，根據OB和OC得出∠CBO=∠OCB，再根據各點坐標算出BC，DC，BD的長，證明△BCD是直角三角形，推出∠DBC=∠OCA，從而得到結論；

②設直線CD切⊙P于點E．連結PE、PA，作CF⊥DQ于點F，證明△DEP為等腰三角形，設P（1，m），在△APQ中，利用勾股定理列出方程，解出m，可得點P坐標；

（2）分，兩種情況分別討論，列出相應方程，解之即可.

解：（1）①設，將B（3，0）代入，

解得，

∴拋物線的解析式是：，即，

令，則，，，

∴A（－1，0），

∴，

∴∠CBO=∠OCB，，

∵，，，

∴，是直角三角形且，

∴，

又∵∠DBC和∠OCA都是銳角，

∴∠DBC=∠OCA，

∴∠DBA=∠ACB；

②如圖，設直線CD切⊙P于點E．連結PE、PA，作CF⊥DQ于點F，

∴PE⊥CD，PE=PA，

由y=﹣x2+2x+3，得：對稱軸為直線x=1，C（0，3）、D（1，4），

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF為等腰直角三角形，

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP為等腰三角形，

設P（1，m），D（1，4），

∴，

∴，

∴EP2=（4﹣m）2，

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1-（-1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1-（-1）]2+m2，

整理，得m2+8m﹣8=0，

解得，m=﹣4±，

∴點P的坐標為（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；

（2）G的橫坐標或，

①若，

∴，

∴，

當時，

，

∴，

于是，，

∴，

∴，

∴（舍），，

∴；

②若，

取的中點，

則，

∴，

∴，

令，，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

∴

故點G的橫坐標或.