Question

【題目】如圖，二次函數的圖象交軸于兩點，并經過點，已知點坐標是，點坐標是．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求函數圖象的頂點坐標及點的坐標；

（3）二次函數的對稱軸上是否存在一點，使得的周長最小？若點存在，求出點的坐標，若點不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）(4,2)，(6,0)

（3）存在，C(4,2)

【解析】

（1）只需運用待定系數法就可求出二次函數的解析式；
（2）只需運用配方法就可求出拋物線的頂點坐標，只需令y=0就可求出點D的坐標；
（3）連接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周長最小，只需CD+CB最小，根據拋物線是軸對稱圖形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根據“兩點之間，線段最短”可得：當點A、C、B三點共線時，CA+CB最小，只需用待定系數法求出直線AB的解析式，就可得到點C的坐標．

（1）把A(2，0)，B(8，6)代入，得

解得

∴二次函數的解析式為

故答案為：

（2）由得二次函數圖象的頂點坐標為(4，2)

令y=0，得

解得：x1=2，x2=6，

∴D點的坐標為(6，0)．

故答案為：(4，2)，(6，0)

（3）二次函數的對稱軸上存在一點C，使得△CBD的周長最小．

連接CA，如圖，

∵點C在二次函數的對稱軸x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴△CBD的周長=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根據“兩點之間，線段最短”，可得當點A、C、B三點共線時，CA+CB最小，此時，由于BD是定值，因此△CBD的周長最小．

設直線AB的解析式為y=mx+n，

把A(2，0)、B(8，6)代入y=mx+n，得

解得

∴直線AB的解析式為y=x2

當x=4時，y=42=2，

∴當二次函數的對稱軸上點C的坐標為(4，2)時，△CBD的周長最小．

故答案為：存在，C(4，2)