Question

【題目】已知拋物線與軸交于、兩點(點在點的左側)，與軸交于點，頂點為．

（1）請求出、兩點的坐標；

（2）將拋物線繞平面內的某一點旋轉180°，旋轉后得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸相交于、兩點(點在點的右側)，使得拋物線過點，且以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，請求出所有滿足條件的拋物線的頂點坐標．

Answer 1

【答案】（1）、；（2）、

【解析】

（1）將x＝0代入即可求得點C坐標，將函數關系式配成頂點式即可求得點M的坐標；

（2）先根據中心對稱可得點在拋物線的圖像上，當點拋物線對稱軸的右側時，過點M作MG⊥y軸于點G，過點作M'G⊥x軸于點H，根據平行四邊形的性質可得CM∥M'F，CM＝M'F，進而可證得△CGM≌△M'HF，從而可得點M'的縱坐標，代入拋物線即可求得點M'的坐標，當點拋物線對稱軸的左側時，同理可得．

解：（1）當x＝0時，y＝5，則點C坐標為（0,5），

∵，

∴頂點M的坐標為（3，－4），

（2）∵拋物線繞平面內的某一點旋轉180°，旋轉后得到拋物線，

∴與關于該點成中心對稱

∵經過的頂點，

∴經過的頂點，

如圖，當點拋物線對稱軸的右側時，

過點M作MG⊥y軸于點G，過點作M'G⊥x軸于點H，

當四邊形為平行四邊形時，則CM∥M'F，CM＝M'F，

∴△CGM≌△M'HF，

∵點C坐標為（0,5），點M的坐標為（3，－4），

∴M'H＝CG＝5－（－4）＝9，

∴點M'的縱坐標為9，

將y＝9代入得

，

解得

∴此時點M'的坐標為，

如圖，當點拋物線對稱軸的左側時，

同理可得，此時點M'的坐標為，

綜上所述，此時點M'的坐標為或