Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作⊙O的切線交AB于點M，交CB延長線于點N，連接OM，OC＝1．

（1）求證：AM＝MD；

（2）填空：

①若DN，則△ABC的面積為　 　；

②當四邊形COMD為平行四邊形時，∠C的度數為　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②45°．

【解析】

（1）連接OD，根據切線的性質得到∠ODM=∠ABC=90°，根據全等三角形的判定定理得到Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），求得BM=DM，∠DOM=∠BOM=∠DOB，根據圓周角定理得到∠BOM=∠C，于是得到結論；
（2）①由于tan∠DON=，求得∠DON=60°，根據圓周角定理得到，根據三角形的面積公式即可得到結論；
②根據平行四邊形的性質和圓周角定理即可得到結論．

（1）證明：連接OD，

∵DN為⊙O的切線，

∴∠ODM＝∠ABC＝90°，

在Rt△BOM與Rt△DOM中，

∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），

∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM，

∵∠C，

∴∠BOM＝∠C，

∴OM∥AC，

∵BO＝OC，

∴BM＝AM，

∴AM＝DM；

（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN，

∴tan∠DON，

∴∠DON＝60°，

∴∠C＝30°，

∵BC＝2OC＝2，

∴ABBC，

∴△ABC的面積為ABBC2；

②當四邊形COMD為平行四邊形時，∠C的度數為45°，

理由：∵四邊形COMD為平行四邊形，

∴DN∥BC，

∴∠DON＝∠NDO＝90°，

∴∠CDON＝45°．