Question

【題目】已知，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(0，2)，點P(m，n)是拋物線上的一個動點.

(1)如圖1，過動點P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA，請通過測量或計算，比較PA與PB的大小關系：PA_____PB(直接填寫“＞”“＜”或“=”，不需解題過程)；

(2)請利用(1)的結論解決下列問題：

①如圖2，設C的坐標為(2，5)，連接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，簡單說明理由；

②如圖3，過動點P和原點O作直線交拋物線于另一點D，若AP=2AD，求直線OP的解析式.

Answer 1

【答案】(1)=；(2)①存在，P(2，2)；②

【解析】

（1）運用二次函數的性質，兩點距離公式

（2）①由于PA相當于P到X軸的距離，所以AP+PC最小值，應為直線距離最小.

②過點D,點P，分別作X軸的垂線，垂足為E,F,通過AP=2AD聯立方程可求得.

解（1）設

∵

，∴

（2）①∵P為拋物線上的動點，由上述結論PA距離即為P到X軸的距離，因此AP+PC最小值應為直線距離，過點C到X軸的距離，交拋物線于P,點P的橫坐標為2，所以縱坐標為 ，即P(2，2)

②解：∵ ∴

設 又過直線OP正比例圖像

∴

得到 所以 ,則OP的解析式.