Question

【題目】如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D為頂點，連接BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交與點E．

（1）求拋物線解析式及點D的坐標；

（2）G是拋物線上B，D之間的一點，且S四邊形CDGB＝4S△DGB，求出G點坐標；

（3）在拋物線上B，D之間是否存在一點M，過點M作MN⊥CD，交直線CD于點N，使以C，M，N為頂點的三角形與△BDE相似？若存在，求出滿足條件的點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；頂點；（2）；（3）存在，點或．

【解析】

（1）利用待定系數法可求得拋物線的解析式，然后化成頂點式可得點D的坐標；

（2）連接BC，BG，DG，首先求出，然后根據S四邊形CDGB＝4S△DGB可得，求出直線的解析式，設，則H（x，2x-6），根據得出方程，解方程求出x即可解決問題；

（3）如圖3，以C，M，N為頂點的三角形與△BDE相似，則以B，C，P為頂點的三角形與△BDE相似，則或，求出或；然后分和兩種情況，分別求出直線CP的解析式即可解決問題．

解：（1）拋物線與軸交于，兩點，

，解得，

∴拋物線的解析式為：；

，

頂點的坐標為；

（2）如圖2，連接，BG，DG，

在中，令，則，

∴點，

∴易求直線的解析式為，

設直線與對稱軸相交于點，

當時，，

∴點，

∴，

，

四邊形，

，

設過點與軸平行的直線交BD于點，直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為，

設，則H（x，2x-6），

∴，

∴，

整理得，，

解得：，則，

∴點；

（3）存在，

由勾股定理得，，

如圖3，過點作交的延長線于，

，，，

，與軸的夾角都是，

，

又，

，

，

以、、為頂點的三角形與相似，

以、、為頂點的三角形與相似，

或，即或，

解得：或，

過點作軸于，

，

，

①當時，，

∴，

∴點，

設直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為，

聯立，解得：（舍去），，

∴點；

②當時，，

∴，

∴點，

設直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為，

聯立，解得（舍去），，

點，

綜上所述，存在點或，使以、、為頂點的三角形與相似．