Question

【題目】已知二次函數y=ax2﹣4ax+3a．

（Ⅰ）求該二次函數的對稱軸；

（Ⅱ）若該二次函數的圖象開口向下，當1≤x≤4時，y的最大值是2，且當1≤x≤4時，函數圖象的最高點為點P，最低點為點Q，求△OPQ的面積；

（Ⅲ）若對于該拋物線上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），當t≤x1≤t+1，x2≥5時，均滿足y1≥y2，請結合圖象，直接寫出t的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）對稱軸x=2；（Ⅱ）△OPQ的面積為10；（Ⅲ）t的最大值為4．

【解析】分析：根據拋物線的對稱軸公式直接寫出即可.

拋物線的開口向下，對稱軸在1≤x≤4的范圍內，應該是在對稱軸處取得最大值，即可求出頂點坐標，代入求出的值，分析二次函數在1≤x≤4的范圍內的最小值，求出點 的面積可以用長方形的面積減去3個直角三角形的面積即可.

當 時，均滿足拋物線開口向下，點P在點Q左邊或重合時，滿足條件，即可列出不等式，求解即可.

詳解：（Ⅰ）對稱軸x=﹣=2．

（Ⅱ）∵該二次函數的圖象開口向下，且對稱軸為直線x=2，

∴當x=2時，y取到在1≤x≤4上的最大值為2，即

∴

∴

∴

∵當1≤x≤2時，y隨x的增大而增大，

∴當x=1時，y取到在1≤x≤2上的最小值0．

∵當2≤x≤4時，y隨x的增大而減小，

∴當x=4時，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．

∴當1≤x≤4時，y的最小值為﹣6，即

∴的面積為

（Ⅲ）∵當 時，均滿足

∴當拋物線開口向下，點P在點Q左邊或重合時，滿足條件，

∴

∴

∴t的最大值為4．