Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A，B（A在B的左側），拋物線的對稱軸為直線x=1，AB=4．

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1，x2＞1，x1+x2＞2，試判斷y1與y2的大小，并說明理由；

（3）平移該拋物線，使平移后的拋物線經過點O，且與x軸交于點D，記平移后的拋物線頂點為點P

①若△ODP是等腰直角三角形，求點P的坐標；

②在①的條件下，直線x=m（0＜m＜3）分別交線段BP、BC于點E、F，且△BEF的面積：△BPC的面積=2：3，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）y1＜y2；（3）m的值為1或3﹣2．

【解析】分析：（1）先根據拋物線和x軸的交點及線段的長，求出拋物線的解析式；

（2）根據拋物線的解析式判斷出點M、N的大概位置，再根據點M、N的橫坐標的范圍判斷函數值的大小即可；

（3）①作PH⊥x軸于H，根據等腰三角形的性質得到PH=OH=OD，把問題分為：當點D在x軸的正半軸上，當點D在x軸的負半軸上，設出P點的坐標求解即可；

②當點D在x軸的正半軸上，延長HP交BC于Q，根據待定系數法求出直線BP的解析式和直線BC的解析式；然后根據△BEF的面積：△BPC的面積=2：3，求出m的值；當點D在x軸的負半軸上，延長HP交BC于Q，同理求出直線BP的解析式，同上求出m的值.

詳解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，AB=4，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3；

（2）y1＜y2；理由如下：

∵x1＜1，x2＞1，

∴M、N在對稱軸的兩側，

∵x1+x2＞2，

∴x2﹣1＞1﹣x1，

∴點N到直線x=1的距離比M點到直線x=1的距離遠，

∴y1＜y2；

（3）①作PH⊥x軸于H，

∵△OPD為等腰直角三角形，

∴PH=OH=OD，

當點D在x軸的正半軸上，如圖1，

設P（m，﹣m），則D（2m，0），

設拋物線的解析式為y=x（x﹣2m），

把P（m，﹣m）代入得m（m﹣2m）=﹣m，解得m1=0（舍去），m2=1，即P（1，﹣1）；

當點D在x軸的負半軸上，如圖2，

設P（m，m），則D（2m，0），

設拋物線的解析式為y=x（x﹣2m），

把P（m，m）代入得m（m﹣2m）=m，解得m1=0（舍去），m2=﹣1，即P（﹣1，﹣1）；

綜上所述，P點坐標為（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）；

②當點D在x軸的正半軸上，如圖1，延長HP交BC于Q，

設直線BP的解析式為y=px+q，

把B（3，0），P（1，﹣1）代入得，解得，

∴直線BP的解析式為y=x﹣，

易得直線BC的解析式為y=x﹣3；

則Q（1，﹣2），E（m，m﹣），F（m，m﹣3），

S△PBC=×1×3=，

∵△BEF的面積：△BPC的面積=2：3，

∴S△BEF=1，

∴（﹣m+）（3﹣m）=1，解得m1=5（舍去），m2=1；

當點D在x軸的負半軸上，如圖2，延長HP交BC于Q，

同理可得直線BP的解析式為y=x﹣，

則Q（﹣1，﹣4），E（m， m﹣），F（m，m﹣3），

S△PBC=×3×3=，

∵△BEF的面積：△BPC的面積=2：3，

∴S△BEF=3，

∴（﹣m+）（3﹣m）=3，解得m1=3+2（舍去），m2=3﹣2，

綜上所述，m的值為1或3﹣2．