Question

【題目】在正方形中，為對角線上任意一點（不與重合）連接，過點M作交（或的延長線）于點，連接．

感知：如圖①，當M為中點時，容易證（不用證明）；

探究：如圖②，點M為對角線上任意一點（不與重合）請探究與的數量關系，并證明你的結論．

應用：（1）直接寫出的面積S的取值范圍；

（2）若，則與的數量關系是_____________．

Answer 1

【答案】探究：CM=MN，證明見解析；（1）9≤S＜18；（2）AN=6BN．

【解析】

探究：如圖，過M分別做ME//AB交BC于點E，MF//BC交AB于點F，證明△MFN≌△MEC即可解決．

（1）求出△MNC面積的最大值以及最小值便可解決．

（2）利用平行線分線段成比例定理求出AN，BN即可解決．

探究；如圖，

過M分別做ME//AB交BC于E,MF//BC交AB于F．

則四邊形BEMF是平行四邊形

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABC= ,∠ABD=∠CBD=∠BME=

∴ME=BE

∴平行四邊形BEMF是正方形

∴ME=MF

∵CM⊥MN

∴∠CMN=

∴∠FME=

∴∠CME=∠FMN

∴△MFN≌△MEC（ASA）

∴MN=MC

應用：

（1）當點M與D重合時，△CNM的面積最大，最大為18.

當DM=BM時，△CNM的面積最小，最小值為9

綜上所述：9≤S＜18

（2）如圖所示

由（1）得FM//AD，EM//CD，

∴

∵AN=BC=6

∴AF=3.6,CE=3.6

∵△MFN≌△MEC

∴FN=EC=3.6

∴AN=7.2,BN=7.2-6=1.2

∴AN=6BN．