Question

【題目】如圖所示，是一張放在平面直角坐標系中的紙片，點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上．已知，．將紙片的直角部分翻折，使點落在邊上，記為點，為折痕，點在軸上．

（1）在如圖所示的直角坐標系中，點的坐標為，________，________；

（2）線段上有一動點（不與點，重合）自點沿方向以每秒個單位長度向點做勻速運動，設運動時間為，過點作交于點，過點作交于點，求四邊形的面積與時間之間的函數表達式．當取何值時，有最大值？最大值是多少？

（3）當為何值時，，，三點構成一個等腰三角形？并求出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時，最大；（3）時，的坐標為；時，M的坐標為

【解析】

（1）由折疊可知△AOE≌△ADE，根據全等三角形的對應邊相等，以及對應角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根據勾股定理求出AB的長，設出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根據勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而寫出點E的坐標，再在直角三角形AOE中，根據勾股定理求出AE的長即可；
（2）根據兩組對邊互相平行得到四邊形MNDP為平行四邊形，又∠ADE為直角，所以MNDP為矩形，根據題意表示出AP的長，進而得到PD的長，又由平行得到兩對同位角相等，進而得到△AMP∽△AED，根據相似三角形對應邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出PM的長，由矩形的面積公式長乘以寬和表示出的長DP與寬PM，表示出矩形的面積，得到面積與t成二次函數關系，利用二次函數求最值的方法求出面積S的最大值及取得最大值時t的值即可；
（3）根據題意發現有兩種情況滿足△ADM為等腰三角形，①當MD=MA時，P為AD中點，由AD求出AP，進而根據速度求出此時t的值，此時三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，根據證明△APM≌△AFM，求出MF=MP，即為M的縱坐標，求出FA，進而求出OF的長，即為M的橫坐標，寫出M的坐標即可；②當AD=AM=3時，由平行的兩對同位角相等，進而得到△AMP∽△AED，根據相似三角形對應邊成比例得到比例式，求出AP的長，由速度求出此時t的值，此時三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，證明△APM≌△AFM，同理可得M的坐標．

解：（1）據題意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
設DE=OE=x，在Rt△BED中，根據勾股定理得：BD2+DE2=BE2，
即22+x2=（4-x）2，解得x＝，

∴E（0，），

在Rt△AOE中，AE＝；

（2），，且，

四邊形是矩形，

，

，

∽，

，

，

，

當s時，；

（3）為等腰三角形有以下兩種情況：

①當時，點是的中點，

s，

s，

當時，，，三點構成一個等腰三角形，

如圖1，過點作于點，

在△APM和△AFM中

，

（AAS），

，，

，

此時點的坐標為，

②當時，

，

，即，

s，

當s時，，，三點構成一個等腰三角形，

如圖2，過點作于點，

在△AMF和△AMP中，

，

（AAS），

，，

，

此時點的坐標為．