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20．(本小題滿分12分)(1)求證：≤2(n∈N^*)；

(2)求證：(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ<2ⁿ，其中|x|<1，n≥2，n∈N^*.

證明：(1)要證≤2(n∈N^*)，只需證n+1≤2ⁿ即可．∵2ⁿ＝(1+1)ⁿ＝C+C+…+C≥C+C＝1+n，∴≤2(n∈N^*)，當n＝1時等號成立．

(2)(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ＝2(1+Cx²+Cx⁴+…+C·x^2k+…)．∵|x|<1，∴0<x^2k<1.

∴(1+x)ⁿ+(1－x)ⁿ<2(1+C+C+…+C+…)＝2·2^n－1＝2ⁿ，成立．

19．(本小題滿分12分)球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，則擊球方法有幾種？

解：設擊入黃球x個，紅球y個符合要求，

則有(x，y∈N)，

由題意，得1≤x≤4，

∴相應每組解(x，y)，擊球方法數分別為CC，CC，CC，CC.∴共有不同擊球方法數為CC+CC+CC+CC＝195.

18．(本小題滿分12分)已知在ⁿ的展開式中，第6項為常數項．

(1)求n；

(2)求含x²的項的系數；

(3)求展開式中所有的有理項．

解：(1)通項公式為T_r+1＝Cx(－)^rx－

＝C(－)^rx，

因為第6項為常數項，所以r＝5時，

有＝0，即n＝10.

(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，

∴所求的系數為C(－)²＝.

(3)根據通項公式，由題意得

令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k，

∵r∈Z，∴k應為偶數．

∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.

所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為T₃＝x²，T₆＝，T₉＝x^－2.

17．(本小題滿分10分)在一塊10壟并排的田地中，選2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法共有多少種？

解法一：(圖示法)如圖(1)，用并排一行的10個小矩形表示10壟田地，小矩形內加“○”表示選中，具體畫出有6種選取方法．再對每種選取方式分別種植A、B兩種作物，有A種種植方法．

故共有6A＝12種種植方法．

(1)

(2)

解法二：(圖象法)設并排10壟田地依次編號為1,2,3，…，10，所選的壟田地為a、b，根據題設條件，得

問題的解化為不等式組的整數解的個數．如圖(2)所示，滿足不等式組的解為坐標平面aOb內標有“·”號的整點，數整點個數有12個，故符合題意的選壟方法有12種．

16.⁸的展開式中x²的系數是70，則實數a的值為________．

答案：±1

解析：T_k+1＝C(ax)^8－k(－)^k

＝Ca^8－kx8－k－(－1)^k，

令8－k－＝2，得k＝4，

∴Ca⁴(－1)⁴＝70，∴a⁴＝1，∴a＝±1.

15．(2008·陜西理)某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方案共有________種．(用數字作答)

答案：96

解析：先安排最后一棒(A)，再安排第一棒(A)，最后安排中間四棒(A)，∴不同的傳遞方案有AAA＝96(種)．

14．已知(1+x)+(1+x)²+(1+x)³+…+(1+x)⁸＝a₀+a₁x+…+a₈x⁸，則a₁+a₂+a₃+…+a₈＝________.

答案：502

解析：令x＝1得a₀+a₁+a₂+…+a₈

＝2+2²+2³+…+2⁸＝

＝2⁹－2＝510.

令x＝0，得a₀＝8，∴a₁+a₂+…+a₈＝502.

13．在(x－)⁹的展開式中，x³的系數為________(用數字作答)．

答案：－

解析：T_k+1＝Cx^9－k(－)^k＝Cx^9－k(－)^kx^－k

＝Cx^9－2k(－)^k，

令9－2k＝3，得k＝3，

∴T₄＝Cx³·(－)³＝84×(－)x³＝－x³，

∴x³的系數為－.

12．圓周上有12個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內的交點個數最多有(　)

A．A　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．A·A

C．C·C 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．C

答案：D

解析：圓周上任意四個點連線的交點都在圓內，此四點的選法有C，則由這四點確定的圓內的交點個數為1，所以這12個點所確定的弦在圓內交點的個數最多為C.故選D.

11．(2009·昆明市質檢)某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有(　)

A．56種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．68種

C．74種　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．92種

答案：D

解析：本題是計數問題，根據特殊(或受限)元素進行分類，如本題屬于“多面手”問題，根據劃左舷中有多面手人數的多少進行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有C種，有一個“多面手”的選派方法有CCC種，有兩個“多面手”的選派方法有CC種，即共有20+60+12＝92(種)．故選D.