1、不定冠詞、定冠詞和零冠詞的基本用法
與 
是互素的合數．(這里
與
分別表示有限數集
的所有元素之和及元素個數．)
證 我們用
表示有限數集X中元素的算術平均．
第一步，我們證明，正整數的n元集合
具有下述性質：對
的任意兩個不同的非空子集A，B，有
．
證明：對任意
，
，設正整數k滿足
，
①
并設l是使
的最小正整數．我們首先證明必有
．
事實上，設
是A中最大的數，則由，易知A中至多有
個元素，即
，故
．又由
的定義知
，故由①知
．特別地有
．
此外，顯然
，故由l的定義可知
．于是我們有
．
若
，則；否則有
，則
．
由于
是A中最大元，故上式表明
．結合
即知．
現在，若有的兩個不同的非空子集A，B，使得
，則由上述證明知
，故
，但這等式兩邊分別是A，B的元素和，利用
易知必須A=B，矛盾．
第二步，設K是一個固定的正整數，
，我們證明，對任何正整數x，正整數的n元集合
具有下述性質：對
的任意兩個不同的非空子集A，B，數與
是兩個互素的整數．
事實上，由的定義易知，有的兩個子集
，滿足
，
，且
．
②
顯然
及
都是整數，故由上式知與都是正整數．
現在設正整數d是與的一個公約數，則
是d的倍數，故由②可知
，但由K的選取及的構作可知，
是小于K的非零整數，故它是
的約數，從而
．再結合
及②可知d=1，故與互素．
第三步，我們證明，可選擇正整數x，使得中的數都是合數．由于素數有無窮多個，故可選擇n個互不相同且均大于K的素數
．將中元素記為
，則
，且
(對
)，故由中國剩余定理可知，同余方程組
，
有正整數解．
任取這樣一個解x，則相應的集合中每一項顯然都是合數．結合第二步的結果，這一n元集合滿足問題的全部要求．
解 當
為奇數時，存在合乎要求的染法；當
為偶數時，不存在所述的染法。
每3個頂點形成一個三角形，三角形的個數為
個，而顏色的三三搭配也剛好有種，所以本題相當于要求不同的三角形對應于不同的顏色組合，即形成一一對應．
我們將多邊形的邊與對角線都稱為線段．對于每一種顏色，其余的顏色形成
種搭配，所以每種顏色的線段(邊或對角線)都應出現在個三角形中，這表明在合乎要求的染法中，各種顏色的線段條數相等．所以每種顏色的線段都應當有
條．
當為偶數時，
不是整數，所以不可能存在合乎條件的染法．下設
為奇數，我們來給出一種染法，并證明它滿足題中條件．自某個頂點開始，按順時針方向將凸
邊形的各個頂點依次記為
．對于
，按
理解頂點
．再將種顏色分別記為顏色
．
將邊
染為顏色
，其中
．再對每個，都將線段(對角線)
染為顏色，其中
．于是每種顏色的線段都剛好有
條．注意，在我們的染色方法之下，線段
與
同色，當且僅當
． ①
因此，對任何
，任何
，線段
都不與
同色．換言之，如果
．
②
則線段都不與同色．
任取兩個三角形
和
，如果它們之間至多只有一條邊同色，當然它們不對應相同的顏色組合．如果它們之間有兩條邊分別同色，我們來證明第3條邊必不同顏色．為確定起見，不妨設與同色．
情形1：如果
與
也同色，則由①知
，
，
將二式相減，得
，故由②知
不與
同色．
情形2：如果
與
也同色，則亦由①知
，
，
將二式相減，亦得
，亦由②知與不同色．總之，與對應不同的顏色組合．
解 不妨設
，則對
，有
，
所以 
．
當n為奇數時， 
．
當n為偶數時， 
．
所以，當n為奇數時，
，當n為偶數時，
，等號均在
時成立．
因此，
的最小值為
(n為奇數)，或者
(n為偶數)．
解 先證一個引理：頂點在P中的凸m邊形至多有兩個銳角，且有兩個銳角時，這兩個銳角必相鄰．
事實上，設這個凸邊形為
，只考慮至少有一個銳角的情況，此時不妨設
，則
，
更有
．
而
+
，故其中至多一個為銳角，這就證明了引理．
由引理知，若凸邊形中恰有兩個內角是銳角，則它們對應的頂點相鄰．
在凸邊形中，設頂點與
為兩個相鄰頂點，且在這兩個頂點處的內角均為銳角．設與的劣弧上包含了
的
條邊(
)，這樣的
在固定時恰有
對．
(1) 若凸邊形的其余
個頂點全在劣弧上，而劣弧上有
個中的點，此時這個頂點的取法數為
．
(2) 若凸邊形的其余個頂點全在優弧上，取，的對徑點
，
，由于凸邊形在頂點，處的內角為銳角，所以，其余的個頂點全在劣弧
上，而劣弧上恰有個中的點，此時這個頂點的取法數為
．
所以，滿足題設的凸邊形的個數為
．
解：若
，不妨設
，則
，故
．
由Fermat小定理， 
，得
，即
．易驗證素數對
不合要求，
，
合乎要求．
若
為奇數且
，不妨設
，則
，故
．
當
時素數對
合乎要求，當
時，由Fermat小定理有
，故
．由于
為奇素數，而626的奇素因子只有313，所以
．經檢驗素數對
合乎要求．
若
都不等于2和5，則有
，故
．
①
由Fermat小定理，得 
，
②
故由①，②得
．
③
設
，
， 其中
為正整數．
若
，則由②，③易知
，
這與
矛盾！所以
．
同理有
，矛盾！即此時不存在合乎要求的
．
綜上所述，所有滿足題目要求的素數對為
，
，，
，，及
．
(1)若A，B，C，D四點共圓，求證：
；
(2)若 ，是否一定有A，B，C，D四點共圓？證明你的結論．
解(1)設Q，R分別是OB，OC的中點，連接EQ，MQ，FR，MR，則
，
又OQMR是平行四邊形，所以
，
由題設A，B，C，D四點共圓，所以
，
于是 圖1
，
所以
，
故
，
所以 EM＝FM，
同理可得 EN＝FN，
所以
．
(2)答案是否定的．
當AD∥BC時，由于
，所以A，B，C，D四點不共圓，但此時仍然有，證明如下：
如圖2所示，設S，Q分別是OA，OB的中點，連接ES，EQ，MQ，NS，則
，
所以
．
①
又
，所以
．
②
而AD∥BC，所以
，
③
由①，②，③得
．
因為 
，
，
即
，
所以
-
，
故
(由②)．
同理可得，
，
所以
，
從而
．
18.
讀“南極大陸及周圍地區圖”，回答下列問題。(18分)
(1)讀圖，填寫下列字母的所代表的大洲、大洋、島嶼和海峽的名稱：
大洋：A ，B ，
C 。
大洲：D ，F ，
G 。
島嶼：E ，海峽：H 。
(2)Ⅰ處是我國南極考察站的兩個之一，在圖中用☆標注另一個考察站。如以Ⅰ點為起點，依次向東、向南、向
西、向北各走10千米，最后到達 。
A.原地 B.原地以東 C.原地以西 D.原地以北
(3)南極大陸周邊地區終年盛行強勁的極地東風，其運動方向是 。
答案 (1)大西洋 太平洋 印度洋 大洋洲 南美洲
非洲 新西蘭群島 德雷克海峽
(2)作圖略(長城站在南極圈以外喬治王島) C
(3)逆時針輻散
17.
(2007·江蘇地理)下圖為“1271-1295年馬可·波羅東行路線示意圖”。圖回答下列問題。(18分)
(1)馬可·波羅從威尼斯出發，東行途中經過A、B、C三地，其所屬的氣候類型分別是A ，
B ，C 。其中A地的氣候特征是 。
(2)馬可·波羅乘船返回途中，途經的D處為 海峽，E處位于 板
塊和 板塊的交界處附近。
(3)途經的F處比E處的海水鹽度 (高、低)，形成這種差異的主要原因是 。
(4)本題為選做題，只可從A、B兩題中選做一題。
A題.馬可·波羅途經塔里木盆地西部邊緣的喀什時，得知當地“有美麗的花園、果園、葡萄園，棉花、亞麻產量
十分豐富”。請簡要分析當地棉花種植的有利自然條件。
B題.馬可·波羅往返途中都經過西亞地區。請簡要分析當今西亞地理位置的重要性。
答案 (1)地中海氣候 溫帶大陸性氣候 溫帶季風氣候
夏季炎熱干燥 ，冬季溫和濕潤
(2)馬六甲 亞歐 印度洋
(3)高 F處降水較少，蒸發旺盛
(4)A題.光照條件好；熱量充足；灌溉便利；地勢平坦。
B題.處于聯系亞、歐、非三大洲，溝通大西洋和印度洋的樞紐地位；是世界石油運輸的重要通道。
(2009·貴陽測試)讀“某大陸東南部地區示意圖及該地區氣候資料統計圖”，回答14-16題。
14.圖示甲河流域的農業地域類型是 ( )
A.大牧場放牧業 B.混合農業 C.商品谷物農業 D.水稻種植業
答案 B
15.甲河入海口附近海域的表層海水，鹽度最低的時間為 ( )
A.1月 B.4月 C.7月 D.10月
答案 C
16.當北京的正午太陽高度達一年中最大時，乙城市 ( )
A.晝短夜長 B.高溫多雨 C.晝長夜短 D.寒冷干燥
答案 A
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