題目列表(包括答案和解析)
設(shè)三次函數(shù)
在x＝1處取得極值，其圖象在x＝m處的切線的斜率為－3a．
(1)求證：
；
(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，求
的取值范圍；
(3)問是否存在實數(shù)k(k是與a，b，c，d無關(guān)的常數(shù))，當x≥k時，恒有
恒成立？若存在，試求出k的最小值；若不存在，請說明理由．
設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1處取得極值，其圖象在x＝m處的切線的斜率為－3a．
(Ⅰ)求證：
；
(Ⅱ)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，求|s－t|的取值范圍；
(Ⅲ)問是否存在實數(shù)k(k是與a，b，c，d無關(guān)的常數(shù))，當x≥k時，恒有
恒成立？若存在，試求出k的最小值；若不存在，請說明理由．
設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1處取得極值，其圖像在x＝m處的切線的斜率為－3a．
(1)求證：
；
(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，求|s－t|的取值范圍；
(3)問是否存在實數(shù)k(k是與a，b，c，d無關(guān)的常數(shù))，當x≥k時，恒有
恒成立？若存在，試求出k的最小值；若不存在，請說明理由．
1.（1）因為學）.files/image386.gif)
，所以學）.files/image388.gif)
又學）.files/image134.gif)
是圓O的直徑，所以學）.files/image391.gif)
又因為學）.files/image393.gif)
（弦切角等于同弧所對圓周角）
所以學）.files/image395.gif)
所以學）.files/image397.gif)
又因為學）.files/image399.gif)
，所以學）.files/image401.gif)
相似
所以學）.files/image403.gif)
，即學）.files/image158.gif)
（2）因為學）.files/image153.gif)
，所以學）.files/image406.gif)
，
因為學）.files/image151.gif)
，所以學）.files/image409.gif)
由（1）知：學）.files/image411.gif)
。所以學）.files/image413.gif)
所以學）.files/image415.gif)
，即圓的直徑學）.files/image417.gif)
又因為學）.files/image419.gif)
，即學）.files/image421.gif)
解得學）.files/image423.gif)
2.依題設(shè)有：學）.files/image425.gif)
令學）.files/image427.gif)
，則學）.files/image429.gif)
學）.files/image431.gif)
學）.files/image433.gif)
學）.files/image435.gif)
學）.files/image438.gif)
3.將極坐標系內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為直角坐標系內(nèi)的問題
點學）.files/image440.gif)
的直角坐標分別為學）.files/image442.gif)
故學）.files/image444.gif)
是以學）.files/image140.gif)
為斜邊的等腰直角三角形，
進而易知圓心為學）.files/image447.gif)
，半徑為學）.files/image449.gif)
，圓的直角坐標方程為
學）.files/image451.gif)
，即學）.files/image453.gif)
將學）.files/image455.gif)
代入上述方程，得
學）.files/image457.gif)
，即學）.files/image459.gif)
4.假設(shè)學）.files/image461.gif)
，因為學）.files/image463.gif)
，所以學）.files/image465.gif)
。
又由學）.files/image467.gif)
，則學）.files/image469.gif)
，
所以學）.files/image471.gif)
，這與題設(shè)矛盾
又若學）.files/image473.gif)
，這與矛盾
綜上可知，必有學）.files/image475.gif)
成立
同理可證學）.files/image477.gif)
也成立
命題成立
5. 解：由a1=S1,k=學）.files/image479.gif)
.下面用數(shù)學歸納法進行證明.
1°.當n=1時，命題顯然成立；
2°.假設(shè)當n=k(k學）.files/image481.gif)
N*)時，命題成立,
即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,
則n=k+1時，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）
=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）
即命題對n=k+1.成立
由1°, 2°，命題對任意的正整數(shù)n成立.
6.（1）因為學）.files/image483.gif)
，學）.files/image485.gif)
，
學）.files/image487.gif)
，所以學）.files/image489.gif)
故事件A與B不獨立。
（2）因為學）.files/image491.gif)
學）.files/image493.gif)
所以學）.files/image495.gif)
學）.files/image496.gif)
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