Question

12、定義在R上的函數y=f（x）是增函數，且函數y=f（x-3）的圖象關于（3，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），則當1≤s≤4時，3t+s的取值范圍是（　　）

A、[-2，10]

B、[4，16]

C、[4，10]

D、[-2，16]

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數y=f（x）是增函數，且函數y=f（x-3）的圖象關于（3，0）成中心對稱，易得函數y=f（x）是奇函數，根據函數單調性和奇偶性的性質可得s²-2s≥t²-2t，進而得到3t+s的取值范圍．

解答：解：y=f（x-3）的圖象相當于y=f（x）函數圖象向右移了3個單位．
又由于y=f（x-3）圖象關于（3，0）點對稱，
向左移回3個單位即表示y=f（x）函數圖象關于（0，0）點對稱．
所以f（2t-t²）=-f（t²-2t）
即f（s²-2s）≥f（t²-2t）
因為y=f（x）函數是增函數，所以s²-2s≥t²-2t
移項得：s²-2s-t²+2t≥0
即：（s-t）（s+t-2）≥0
得：s≥t且s+t≥2或s≤t且s+t≤2
則，當s=4，t=-2時，有最小值是4-6=-2
當s=4，t=4時，有最大值是4+12=16
故3t+s范圍是[-2，16]
故選D

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的性質，其中根據已知條件得到函數為奇函數，進而將不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），轉化為s²-2s≥t²-2t，是解答本題的關鍵．