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已知函數f(x)=x+

t

x

(t＞0)和點P（1，0），過點P作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求證：x₁，x₂是關于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）設|MN|=g（t），求函數g（t）；
（3）在（2）的條件下，若在區間[2，16]內總存在m+1個實數a₁，a₂，…，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求實數m的最大值．

（2010•成都模擬）已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），當x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）時，f（x）＞0，當x∈（-2，0）時，f（x）＜0，且對任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設函數F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在x∈[-

3

2

，2]時的最大值H（t）；
（III）在（II）的條件下，若關于的函數y=log₂[p-H（t）]的圖象與直線y=0無公共點，求實數的取值范圍．

設平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

x

⊥

y

，求函數關系式s=f（t）；
（2）在（1）的條件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）實數k在什么范圍內取值時？對該范圍內的每一個確定的k值，存在唯一的實數t，使

x

•

y

=2-s．