Question

設f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（3）如果對任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，最后用直線的斜截式表示即可；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等價于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，先求導數，研究函數的極值點，通過比較與端點的大小從而確定出最大值和最小值，從而求出[g（x₁）-g（x₂）]_max，求出M的范圍；
（3）當x∈[

1

2

，2]時，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立等價于a≥x-x²lnx恒成立，令h（x）=x-x²lnx，利用導數研究h（x）的最大值即可求出參數a的范圍．

解答：解：（1）當a=2時，f(x)=

2

x

+xlnx，f′(x)=-

2

x2

+lnx+1，f（1）=2，f'（1）=-1，
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-x+3；（4分）
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
等價于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，
考察g（x）=x³-x²-3，g′(x)=3x2-2x=3x(x-

2

3

)，

由上表可知：g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，g(x)max=g(2)=1，
[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=

112

27

，
所以滿足條件的最大整數M=4；（8分）
（3）當x∈[

1

2

，2]時，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立
等價于a≥x-x²lnx恒成立，
記h（x）=x-x²lnx，h'（x）=1-2xlnx-x，h'（1）=0．
記m（x）=1-2xlnx-x，m'（x）=-3-2lnx，
由于x∈[

1

2

，2]，m'（x）=-3-2lnx＜0，
所以m（x）=h'（x）=1-2xlnx-x在[

1

2

，2]上遞減，
當x∈[

1

2

，1)時，h'（x）＞0，x∈（1，2]時，h'（x）＜0，
即函數h（x）=x-x²lnx在區間[

1

2

，1)上遞增，在區間（1，2]上遞減，
所以h（x）_max=h（1）=1，所以a≥1．（14分）

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，以及利用導數研究曲線上某點切線方程，考查了劃歸與轉化的思想，屬于中檔題．