Question

設函數f（x）=

a

x

+xlnx （a≥1），g（x）=x³-x²-3．（1）求函數g（x）=x³-x²-3的單調區間；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M，求滿足上述條件的最大整數M；
（3）求證：對任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

Answer 1

分析：第一問屬于常規問題，只是要注意求單調區間要先求定義域．第二問關鍵要分析出如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M等價為[g（x₁）-g（x₂）]max≥M即轉化為求最大最小值問題．第三問關鍵要分析出對任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價為f（x）_min≥f（x）_max．

解答：解：（1）考察g（x）=x³-x²-3，則g'（x）=3x（x-

2

3

）
由g′（x）＞0得x＞

2

3

或x＜0，由g′（x）＜0得0＜x＜

2

3

，
故答案為：增區間為(-∞，0)，(

2

3

，+∞)，減區間為（0，

2

3

）．
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
等價于：[g（x₁）-g（x₂）]max≥M
由題（1）可知：當x∈[0，2]時，g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，
g（x）_max=g（2）=1
[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max- g(x)min=

112

27

，
所以滿足條件的最大整數M=4
故答案為4．
（3）對任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）＞g（t）成立
等價于：在區間[1，2]上，函數f（x）的最小值不小于g（x）的最大值
由（2）知，在區間[1，2]上，g（x）的最大值為
下證當a≥1時，在區間[1，2]上，f（x）≥1恒成立．
當a≥1且x∈[1，2]時，f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx
記h（x）=

1

x

+xlnx，h'（x）=-

1

x2

+ lnx+1
當x∈[1，2]時，h'（x）≥0．所以函數h（x）在區間[1，2]上單調遞增，h（x）_min=h（1）=1，得h（x）≥1
所以當a≥1且x∈[1，2]時f（x）≥1成立．
故對任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

點評：此題綜合性較強，三小問層層推進環環相扣．其中第三問較難，要構造函數，然后利用導數判斷單調性進而求最值！