題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分13分) 已知等差數(shù)列
滿足：
，
，的前n項(xiàng)和為
．
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式
及前n項(xiàng)和；
（Ⅱ）令
=
(n
N*)，求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
．
(本小題滿分13分) 已知等差數(shù)列
滿足：
，
，的前n項(xiàng)和為
．
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式
及前n項(xiàng)和；
（Ⅱ）令
=
(n
N*)，求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
．
滿足：
，
，的前n項(xiàng)和為
．
及前n項(xiàng)和；
=
(n
N*)，求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
．(本小題滿分13分)
已知數(shù)列
滿足
，且對(duì)任意
，都有
．
(Ⅰ）求證：數(shù)列
為等差數(shù)列；
(Ⅱ）試問(wèn)數(shù)列中
是否仍是中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅲ）令
證明：對(duì)任意
.
(本小題滿分13分)
已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足
，
的等差中項(xiàng).
（1）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（2）若
，記數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，求使
成立的最小值.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．D 2．Ｃ 3．B 4．Ｂ 5．Ｄ 6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｃ
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．72 10．
11．1 ，
12．f(x)=
，3
13．
，
14．①②
③④ , ①③②④
注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題滿分13分）
解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是
（7-2 x）人．
(I)∵
，
∴
．……………………………………3分
即
．
∴
．
∴x=2． ……………………………………5分
故文娛隊(duì)共有5人．……………………………………7分
(II) 
的概率分布列為
0
1
2
P
，……………………………………9分
，……………………………………11分
∴
=1． …………………………13分
16．（本小題滿分13分）
解：(I)由
，得
．……………………………………2分
當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3，可得
當(dāng)
時(shí)，
有極值，則
，可得
由①、②解得 a=2,b=-4．……………………………………5分
設(shè)切線l的方程為 
．
由原點(diǎn)到切線l的距離為
，
則
．解得m=±1．
∵切線l不過(guò)第四象限，
∴m=1．……………………………………6分
由于l切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1，∴
．
∴1+a+b+c=4．
∴c=5．…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可得
，
∴
．……………………………………8分
令
，得x=－2, ．
x
[-3,-2)
-2
(-2, 
)
(,1]
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
……………………………………11分
∴f(x)在x=－2處取得極大值f(-2)=13．
在處取得極小值
=
．
又f(-3)=8，f(1)=4．
∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13，最小值為．……………………………………13分
17．（本小題滿分14分）
解法一：(I) ∵PC
平面ABC，
平面ABC，
∴PCAB．…………………………2分
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．…………………………4分
又
，
∴AB平面PCB． …………………………5分
(II) 過(guò)點(diǎn)A作AF//BC，且AF=BC，連結(jié)PF，CF．
則
為異面直線PA與BC所成的角．………6分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，
∴CFAF．
由三垂線定理，得PFAF．
則AF=CF=
，PF=
，
在
中， tan∠PAF=
=
，
∴異面直線PA與BC所成的角為
．…………………………………9分
（III）取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂線定理的逆定理，得 DE PA．
∴
為二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在
中，PB=
，
．
在
中， sin∠CED=
．
∴二面角C-PA-B的大小為arcsin
．……14分
解法二：（I）同解法一．
(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．
以B為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．
則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，
．
…………………7分
則
+0+0=2．
=
= 
．
∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………10分
（III）設(shè)平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．
，，
則
即
解得
令
= -1, 得 m= (，0，-1)．
設(shè)平面PAC的法向量為n=(
)．
，
，
則
即
解得
令
=1, 得 n= (1，1，0)．……………………………12分
=
．
∴二面角C-PA-B的大小為arccos
．………………………………14分
18．（本小題滿分13分）
解：（I）設(shè)P（x，y），因?yàn)锳、B分別為直線
和
上的點(diǎn)，故可設(shè)
，
．
∵
，
∴
∴
………………………4分
又
，
∴
．……………………………………5分
∴
．
即曲線C的方程為
．………………………………………6分
（II） 設(shè)N（s，t），M（x，y），則由
，可得（x，y-16）=
(s，t-16)．
故
，
．……………………………………8分
∵M(jìn)、N在曲線C上，
∴
……………………………………9分
消去s得 
．
由題意知
，且
，
解得 
．………………………………………………………11分
又 
， ∴
．
解得
（）．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．………………………………13分
19．（本小題滿分13分）
解：（I）∵
，
，
，
∴
．
即
．
又
，可知對(duì)任何
，
，
所以
．……………………………2分
∵
，
∴
是以
為首項(xiàng)，公比為
的等比數(shù)列．………4分
（II）由（I）可知
=
（
）．
∴
．
．……………………………5分
當(dāng)n=7時(shí)，
，
；
當(dāng)n<7時(shí)，
，
；
當(dāng)n>7時(shí)，
，
．
∴當(dāng)n=7或n=8時(shí)，
取最大值，最大值為
．……8分
（III）由
，得
（*）
依題意（*）式對(duì)任意
恒成立，
①當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．…………9分
②當(dāng)t<0時(shí)，由
，可知
（）．
而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)
，因此t<0不合題意．…………10分
③當(dāng)t>0時(shí)，由（）,
∴
∴
． （）……11分
設(shè)
（）
∵
=
,
∴
．
∴
的最大值為
．
所以實(shí)數(shù)
的取值范圍是
．…………………………………13分
20．（本小題滿分14分）
解：（I） ∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在
上是增函數(shù)．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，
可得 0<a
1<b和
．
即
．
∴2ab=a+b>
．……………………………………3分
故
，即ab>1．……………………………………4分
（II）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．
若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=
的定義域、值域都是
[a，b]，則a>0．
① 當(dāng)
時(shí)，
在（0，1）上為減函數(shù)．
故
即 
解得 a=b．
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………6分
② 當(dāng)
時(shí)，
在上是增函數(shù)．
故
即 
此時(shí)a，b是方程
的根，此方程無(wú)實(shí)根．
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………8分
③ 當(dāng)
，
時(shí)，
由于
，而
，
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………10分
（III）若存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]．
則a>0，m>0．
① 當(dāng)時(shí)，由于f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，故
．此時(shí)刻得a,b異號(hào)，不符合題意，所以a，b不存在．
② 當(dāng)或時(shí)，由（II）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在
上是增函數(shù)，
∴
即 
a， b是方程
的兩個(gè)根．
即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根．……………………12分
設(shè)這兩個(gè)根為
，
．
則+=
，?=．
∴
即 
解得 
．
故m的取值范圍是．…………………………………………14分
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