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(本小題滿分12分)如圖，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中點． （Ⅰ）求異面直線AB和C₁D所成的角（用反三角函數表示）；（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B₁C₁E的距離．

(本小題滿分12分)

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1,且AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足

(1)證明：PN⊥AM

(2)若，求直線AA₁與平面PMN所成角的正弦值.

( 本小題滿分12分)

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側棱與底面垂直，D是BC的中點，AA₁=AB=1。

（1）   求證：A₁C∥平面AB₁D；

（2）   求點C到平面AB₁D的距離。

(本小題滿分12分)

如圖，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁、BC的中點，點P在A₁B₁上，且滿足＝λ(λ∈R).

(1)證明：PN⊥AM；

(2)當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該最大角的正切值；

(3)若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置.