Question

(本小題滿分12分)如圖，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中點． （Ⅰ）求異面直線AB和C₁D所成的角（用反三角函數表示）；（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B₁C₁E的距離．

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅲ）DH=

解析:

[解析]（Ⅰ）法一：取CC₁的中點F，連接AF，BF，

則AF∥C₁D．      ∴∠BAF為異面直線AB與C₁D

所成的角或其補角． ∵△ABC為等腰直角三角形，AC=2，

∴AB=．又∵CC₁=2，∴AF=BF=．

∵cos∠BAF=， ∴∠BAF=，

即異面直線AB與C₁D所成的角為

法二：以C為坐標原點，CB，CA，CC₁分別為x軸，y軸，

z軸建立空間直角坐標系，

則A（0，2，0），B（2，0，0），C₁（0，0，2），

D（0，2，1），∴=（2，－2，0），=（0，2，－1）．

由于異面直線AB與C₁D所成的角為向量與的夾角或其補角． 設與的夾角為，

則cos==，∴=，即異面直線AB與C₁D所成的角為．

（Ⅱ）法一：過C₁作C₁M⊥A₁B₁，垂足為M，則M為A₁B₁的中點，且C₁M⊥平面AA₁B₁B．連接DM.

∴DM即為C₁D在平面AA₁B₁B上的射影． 要使得A₁E⊥C₁D，

由三垂線定理知，只要A₁E⊥DM．  

∵AA₁=2，AB=2，由計算知，E為AB的中點．

法二：過E作EN⊥AC，垂足為N，則EN⊥平面AA₁C₁C.連接A₁N. ∴A₁N即為A₁E在平面AA₁C₁C上的射影．

要使得A₁E⊥C₁D，由三垂線定理知，只要A₁N⊥C₁D．

∵四邊形AA₁C₁C為正方形，∴N為AC的中點，

∴E點為AB的中點．

法三：以C為坐標原點，CB，CA，CC₁分別為x軸，

y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A₁（0，2，2），B（2，0，0），C₁（0，0，2），  D（0，2，1），

設E點的坐標為（x，y，0）,要使得A₁E⊥C₁D，

只要·=0， ∵=（x，y－2，－2)，

=（0，2，－1），∴y=1．

又∵點E在AB上，

∴∥．∴x=1．

∴E點為AB的中點．

（Ⅲ）法一：取AC中點N，連接EN，C₁N，

 則EN∥B₁C₁．     ∵B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，

∴面B₁C₁NE⊥平面AA₁C₁C．     

過點D作DH⊥C₁N，垂足為H，則DH⊥平面B₁C₁NE，   

 ∴DH的長度即為點D到平面B₁C₁E的距離． 

在正方形AA₁C₁C中，

由計算知DH=，  即點D到平面B₁C₁E的距離.